Números
Primos
Os matemáticos
estão surpresos com a descoberta de que os números primos são mais
exigentes do que se pensava. A descoberta sugere que os teóricos dos
números precisam ser um pouco mais cuidadosos ao explorar a vasta
infinidade dos números primos.
Os primos, números
divisíveis apenas por si mesmos e por 1, são os blocos de
construção a partir dos quais o resto da linha de números é
calculado, uma vez que todos os outros números são criados
multiplicando os primos. Isso faz com que decifrar os mistérios dos
primos seja a chave para compreender os fundamentos da aritmética.
Embora o fato de um
número ser primo ou não seja pré-determinado, os matemáticos não
têm uma maneira de prever quais números são primos, e assim tendem
a tratá-los como se eles ocorressem aleatoriamente. Agora, Kannan
Soundararajan e Robert Lemke Oliver, da Universidade de Stanford, nos
EUA, descobriram que não é bem assim.
“Foi muito
estranho”, conta Soundararajan. “É como uma pintura que você
está muito familiarizado, e então de repente você percebe que há
uma figura nela que você nunca viu antes”.
Ordem
surpresa
Mas o que deixou os
matemáticos tão assombrados? Além do 2 e do 5, todos os números
primos têm final em 1, 3, 7 ou 9 – ele têm que ter, de outra
forma seriam divisíveis por 2 ou 5 – e cada uma destas quatro
terminações é igualmente provável. Mas enquanto observavam os
números primos, a dupla percebeu que primos que terminavam em 1 eram
menos propensos a ser seguidos por outro primo com final 1. Isso não
deveria acontecer se os primos fossem verdadeiramente aleatórios –
números primos consecutivos não deveriam estar ligados com os
dígitos do seu vizinho.
“Na ignorância,
pensamos que as coisas seriam mais ou menos iguais”, diz Andrew
Granville, da Universidade de Montreal, no Canadá. “Nós
certamente acreditávamos que em uma questão como esta, tínhamos
uma forte compreensão do que estava acontecendo”.
A dupla descobriu
que, nos primeiros cem milhões de números primos, um primo com
final 1 é seguido por outro com final em 1 apenas 18,5% das vezes.
Se os números primos fossem distribuídos aleatoriamente, era de se
esperar dois 1s ao lado do outro 25% das vezes. Primos terminados em
3 e 7 compensam a sequência, cada um seguindo um 1 em 30% dos
números primos, enquanto um com final 9 segue um 1 em cerca de 22%
das ocorrências.
Padrões semelhantes
apareceram para as outras combinações de terminações, todos os
valores diferentes dos aleatórios esperados. Os pesquisadores também
encontraram as diferenças em outras bases, onde os números são
contados em outras unidades que não em 10s. Isso significa que os
padrões não são um resultado do nosso sistema de numeração de
base 10, mas algo inerente aos próprios números primos. Os padrões
ficam mais aleatórios conforme você conta números mais elevados –
foram verificados números na casa de alguns trilhões -, mas ainda
persistem.
“Fiquei muito
surpreso”, diz James Maynard, da Universidade de Oxford, no Reino
Unido, que na audição do trabalho realizado imediatamente fez seus
próprios cálculos para verificar que o padrão estava lá. “De
alguma forma eu precisava ver por mim mesmo para realmente
acreditar”.
Até
o infinito
Felizmente,
Soundararajan e Lemke Oliver apresentam uma explicação. Grande
parte da pesquisa moderna sobre números primos é sustentada em G H
Hardy e John Littlewood, dois matemáticos que trabalharam juntos na
Universidade de Cambridge no início do século 20. Eles apresentaram
uma forma de estimar quantas vezes pares, trios e grupos maiores de
primos aparecerão, conhecida como a conjectura de k-tuple.
Assim como a teoria
da relatividade de Einstein é um avanço na teoria da gravidade de
Newton, a conjectura de Hardy-Littlewood é essencialmente uma versão
mais complicada do pressuposto de que primos são aleatórios – e
essa última descoberta demonstra como os dois pressupostos são
diferentes. “Matemáticos saíram por aí assumindo que os primos
são aleatórios, e 99% das vezes isso está correto, mas é preciso
lembrar que em 1% das vezes não está”, diz Maynard.
A dupla usou o
trabalho de Hardy e Littlewood para mostrar que os agrupamentos dados
pela conjectura são responsáveis por introduzir este padrão
dos últimos dígitos. Além do mais, como os números primos vão
até o infinito, eles acabam se desprendendo do padrão e fornecem a
distribuição aleatória que os matemáticos estão acostumados a
esperar.
“Nosso pensamento
inicial era que, se havia uma explicação para ser encontrada, nós
teríamos que encontrá-la usando a conjectura de k-tuple”, diz
Soundararajan. “Achamos que seriamos capazes de compreendê-la, mas
era um verdadeiro quebra-cabeças”.
A conjectura de
k-tuple ainda está para ser provada, mas matemáticos suspeitam
fortemente que ela está correta, uma vez que é tão útil para
prever o comportamento dos primos. “É a conjectura mais precisa
que temos, ela passa todos os testes”, diz Maynard. “Eu vejo este
resultado como mais uma confirmação da conjectura de k-tuple”.
Embora o novo
resultado não tenha quaisquer aplicações imediatas para problemas
de longa data sobre números primos como a conjectura twin-prime ou a
hipótese de Riemann, deu uma mexida no campo. “Isso nos dá mais
compreensão, cada pouco ajuda”, diz Granville. “Se o que você
toma como garantido está errado, faz você repensar algumas outras
coisas que você achava que sabia”.
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